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By Giulio Cesare Barozzi

Il quantity si propone di fornire una prima introduzione alla teoria elementare dei numeri, rivolta agli insegnanti (e ai futuri insegnanti) di matematica. Esso vuole costituire un invito e una preparazione consistent with los angeles lettura di opere pi? impegnative di cui c'? gran copia nella letteratura di lingua inglese e (ultimamente grazie proprio a Springer) una buona presenza anche in lingua italiana. Esso si caratterizza according to avere una "approccio computazionale" cio? in keeping with favorire l'uso di un software program (scegliendolo tra i pi? diffusi oggi in commercio) ai fini della costruzione di un laboratorio di calcolo.

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Si ottiene un rettangolo avente come vertice opposto all’origine il punto di coordinate (n − m, m) se n > m, di coordinate (m, m − n) in caso contrario. Se il rettangolo ottenuto `e un quadrato, la lunghezza dei suoi lati fornisce MCD(n, m); altrimenti si procede in modo analogo a quello visto sul rettangolo iniziale fino ad ottenere un quadrato i cui lati forniscono il MCD cercato. In figura n = 13, m = 8. Ricordiamo che due numeri naturali n e m sono primi tra loro quando il loro massimo comune divisore vale 1: MCD(n, m) = 1.

I resti sono gi` a forniti dalla tabella. Se, ad esempio, si considera il numero 1352, la (6) fornisce 1352 mod 7 = (1 · 6 + 3 · 2 + 5 · 3 + 2 · 1) mod 7 = 29 mod 7 = 1, dunque il numero assegnato non `e divisibile per 7. 1 `e facile ritrovare i classici criteri di divisibilit` a per 2, 3, 5, 9 e 11 che spesso vengono insegnati, senz’alcuna giustificazione, nelle scuole secondarie (si vedano gli esercizi al termine del capitolo). La discussione precedente mostra che la conoscenza del resto n mod m ci d`a alcune informazioni sull’intero n, ad esempio relativamente alla sua divisibilit` a per m.

0, 1, 0, . . , 0), j = 1, 2, . . k, dove il resto uguale a 1 occupa la j-esima posizione. Utilizzando il cosiddetto simbolo di Kronecker, le condizioni poste di scrivono Mj ≡ δij (mod mi ), i, j = 1, 2, . . , k. Allora rj Mj → (0, . . , 0, rj , 0, . . , 0), cio`e r1 M1 → (r1 , 0, . . , 0) r2 M2 → (0, r2 , . . , 0) ..................... rk Mk → (0, 0, . . , rk ). Sommando gli addendi rj Mj si ottiene un numero x tale che rj Mj → (r1 , r2 , . . , rk ), x := j cio`e x `e il numero cercato, se esso non supera M ; in caso contrario basta sostituire x con x mod m.

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